Secuencia 3 de Geometría Analítica

LAS SECCIONES CÓNICAS.

APERTURA.

Para esta secuencia necesitamos recordar algunos conceptos inherentes a las secciones cónicas para lo cual resuelve las siguientes cuestiones. Para contestar algunas preguntas puedes utilizar el Taller de Euclides o el modelador geométrico del Programa Galileo o cualquier libro de Geometría Elemental (o Plana).

01. Construye un cono circular recto y córtalo con un plano de manera perpendicular a su eje. ¿Cómo se llama la figura que se forma sobre la parte donde se hizo el corte?

02. Construye un cono circular recto y córtalo con un plano de manera oblicua a su eje. ¿Cómo se llama la figura que se forma sobre la parte donde se hizo el corte?

03. Construye un cono circular recto y córtalo con un plano de manera paralela a su eje. ¿Cómo se llama la figura que se forma sobre la parte donde se hizo el corte?

04. Construye dos conos circulares rectos. Colócalos de manera que coincidan en su vértice y córtalos con un plano de manera oblicua a su eje de forma que se corte cada uno de los conos. ¿Cómo se llama la figura que se forma sobre la parte donde se hizo el corte?

05. Debido a la forma en que se construyeron cada una de las figuras planas mencionadas en las respuestas de las preguntas 01 a la 04, ¿Qué nombre se les da a tales figuras?

Menciona algunos elementos que podemos encontrar en la…

06. circunferencia.

07. parábola.

08. elipse.

09. hipérbola.

10. Juan y Pedro están jugando en el campo. De pronto a Juan se le ocurre amarrar, con precaución, una piedra con un cordel y la empieza a dar de vueltas sobre su cabeza. El movimiento de la piedra, ¿Qué tipo de figura genera? Si en un momento dado Juan suelta el cordel, ¿Qué sucederá con la piedra?, ¿Qué tipo de movimiento describirá?

11. Una persona escondió un tesoro en el jardín de su casa pero no dejó mapa alguno, solamente la siguiente indicación: “Si quieren mi tesoro tendrán que buscarlo en un lugar que se encuentra a la misma distancia de la barda localizada al sur del jardín y del árbol bajo cuya sombra me sentaba por las tardes a leer mis novelas favoritas”. Imagina que eres uno de los familiares de tal persona y quieres encontrar el tesoro, pues entre otras cosas está el número de cuenta del banco y quien la tenga se quedará con el dinero, ¿Qué figura geométrica tendrás que recorrer para hallar el fabuloso tesoro?

12. Imagina que eres jardinero y que tu patrón te da la siguiente orden: “Mira, deseo que traces dos figuras en el jardín para que le sirvan de referencia al albañil y levante en cada una de ellas una jardinera. Me vas a trazar esas figuras, para lo cual vas a fijar dos estacas en el suelo (la distancia tú la eliges de acuerdo a tu experiencia) y vas a pasar un cordel entre ellas de manera que se tense con una tercera estaca que vas a ir moviendo hasta que completes tal figura. La distribución de las figuras debes de hacerla de manera que no se pierda el atractivo del jardín. ¿Qué figura tendrás que trazar?

13. Imagina que piloteas un avión y estas usando el sistema LORAN para orientarte. LORAN es la abreviatura de la expresión long range navigation (navegación de largo alcance), correspondiente a un sistema de navegación por radio desarrollado durante la II Guerra Mundial; LORAN es uno de los muchos sistemas que permiten a los navegantes determinar la posición de su barco o avión, a partir de la diferencia de recepción de las señales de radio procedentes de dos emisores sincronizados distantes entre sí. El sistema emisor LORAN se compone de una estación maestra y otra esclava: la maestra emite de forma regular una pequeña señal, que es repetida por la esclava, controlada por radio desde la maestra. Ambas señales se reciben en el barco o avión, se amplifican y se registran como pequeñas ondas sobre la pantalla de un tubo de rayos catódicos. Los circuitos del receptor están dispuestos de forma que la distancia entre las señales corresponda a la diferencia de tiempos de llegada de las señales de ambas estaciones. El receptor posee además un dispositivo temporizador electrónico que permite medir dicha diferencia en microsegundos (millonésimas de segundo). Como las ondas de radio viajan a una velocidad constante de 300.000 Km. por segundo, la ubicación de todos los puntos en los que las señales de las dos estaciones están separadas un determinado intervalo de tiempo se puede representar mediante una curva concreta. El navegante dispone de un mapa con muchas de estas curvas, denominadas curvas de posición loran, y tras determinar la diferencia de tiempos, por ejemplo, 3 microsegundos, sabe que la posición de su nave se halla en algún punto de la curva de 3 microsegundos del mapa. Sintonizando una pareja de emisores loran y repitiendo este proceso, el navegante es capaz de detectar otra curva que represente la posición de la nave; la posición real del aparato se halla en la intersección de las dos curvas loran. LORAN posee un alcance útil de unos 2250 Km. por la noche y unos 1200 Km. de día. Las señales se emiten generalmente en la banda de frecuencias de 1,8 a 2,0 MHz; sirve tanto para marcar y mantener un rumbo, como para fijar la posición, y presenta la ventaja de ser independiente de las condiciones meteorológicas. Su exactitud oscila entre unos centenares de metros y unos pocos kilómetros, dependiendo del equipo utilizado y de la distancia entre la nave y la emisora. ¿De que tipo de curva estamos hablando?

DESARROLLO.

A continuación te enlistamos lo que debes de investigar para poder resolver lo que se indica más adelante. Para ello te recomendamos alguna bibliografía donde puedes encontrar la información relevante; te recomendamos elabores un resumen, el cual entregarás a tu profesor para que te lo califique, antes de iniciar esta secuencia:

01. Definición analítica de circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.

02. Elementos que se encuentran en una circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.

03. Ecuación ordinaria de circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.

04. Concepto, y cálculo, de excentricidad.

05. Concepto y cálculo de tangencia de una recta o una sección cónica con cada una de las secciones cónicas.

06. Segunda ecuación ordinaria de circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.

07. Concepto y cálculo de la subtangente, subnormal, tangente y normal a cada sección cónica.

08. Concepto y cálculo de familias de cada sección cónica.

La bibliografía que podemos recomendarte es la siguiente:

* GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA BACHILLERATO. Manuel Guerra Tejada, Silvia Figueroa Campos. McGraw – Hill.

*  FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS: UN ENFOQUE PARA TÉCNICOS. Arthur D. Kramer. McGraw – Hill.

*  ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA. Raymond A. Barnett. McGraw – Hill.

*  ÁLGEBRA ELEMENTAL: ESTRUCTURA Y APLICACIONES. Raymond A. Barnett, Margarita Nolasco. McGraw – Hill.

*  EL CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. Louis Leithold. Editorial Harla.

*  CURSO BREVE DE GEOMETRIA ANALITICA. N. Efimov. Editorial Mir.

*  GEOMETRÍA ANALITICA. Ross R. Middlemiss et al. McGraw – Hill.

*  GEOMETRÍA ANALITICA. Charles H. Lehmann. Editorial Limusa.

*  GEOMETRÍA ANALÍTICA. Agustín Anfossi, Marco A. Flores Meyer. Editorial Progreso.

*  TEORIA Y PROBLEMAS DE GEOMETRIA ANALITICA PLANA Y DEL ESPACIO. Joseph H. Kindle. Serie de Compendios Schaum, Libros McGraw – Hill.

*  MATEMATICAS III. Pedro Salazar Vázquez, Luis Magaña Cuellar. Ciencia Educativa, Compañía Editorial Nueva Imagen.

*  MATEMÁTICAS III: GEOMETRÍA ANALÍTICA. Benjamín Garza Olvera. SEP, SEIT, D. G. E. T. I.

*  GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. Luis Magaña Cuellar, Pedro Salazar Vázquez. Editorial Nueva Imagen.

*  MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Frank S. Budnick. McGraw – Hill.

En equipos de 4 alumnos, resuelvan los siguientes problemas.

Escribe la definición analítica de…
01. circunferencia.
02. parábola.
03. elipse.
04. hipérbola.

De acuerdo a las definiciones anteriores, construye cada una las secciones cónicas en un sistema coordenado (rectangular y polar) y explora todas las posibles posiciones que sean diferentes de acuerdo a sus características principales.

05. Circunferencia.
06. Parábola.
07. Elipse.
08. Hipérbola.

09. Escribe la ecuación de la circunferencia para cada caso marcado en la respuesta de la Pregunta 5.

10. Escribe la ecuación de la parábola para todos los casos considerados en la respuesta de la Pregunta 6, así como la de los elementos asociados a ella.

11. Escribe la ecuación de la elipse para todos los casos considerados en la respuesta de la Pregunta 7, así como la de los elementos asociados a ella.

12. Escribe la ecuación de la hipérbola para todos los casos considerados en la respuesta de la Pregunta 8, así como la de los elementos asociados a ella.

CIERRE.

De manera individual resuelve los siguientes problemas, elaborando el grafico correspondiente. Una vez resueltos por ti reúnete con tu equipo para que revisen sus soluciones y corrijan los errores encontrados. Para cualquier duda checa la bibliografía y si persisten las dudas consulta con tu profesor.

01. Calcula la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio . Elabora la grafica correspondiente.

02. Calcula la ecuación de la circunferencia con centro en (4, – 2) y un radio de 5 u; luego transforma tal ecuación a la forma general. Elabora el grafico correspondiente.

03. Un satélite gira alrededor de un planeta, cuya ecuación es x² + y² – 8x – 6y = 0 Cuando el satélite pasa por el punto (– 9, 5) envía paquetes de señales hacia el planeta, de manera tangencial; calcula las ecuaciones que indican la trayectoria de tales señales

04. Calcula las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la parábola cuya ecuación es y² + 20x = 0. Elabora el grafico correspondiente.

05. Determina si la ecuación 4x² – 20x – 24y + 97 = 0 representa, o no, a una parábola. En caso afirmativo calcula las coordenadas del vértice y foco, las ecuaciones de la directriz y eje focal y la longitud del lado recto. Elabora el grafico correspondiente.

06. El alternador de un automóvil, cuya resistencia interna es de 0.40 ohms, genera potencia a 28 volts; la potencia de salida está dada por la ecuación p = 28i – 0.40i², siendo i la intensidad de la corriente.

a) ¿A qué intensidad de corriente el alternador genera la potencia máxima y cual es esta?
b) Calcula los puntos en donde p = 0, elaborando la grafica correspondiente.

07. Calcula las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados rectos de la elipse 12x² + 8y² = 96. Elabora el grafico correspondiente.

08. Determina todos los elementos de la elipse  ((x-3)²)/8+ ((y-1)²)/9 = 1. Elabora el grafico correspondiente.

09. La Luna gira alrededor de la Tierra según una orbita elíptica, teniendo a la Tierra en uno de los focos. Si las longitudes de los ejes mayor y menor son 774,000 km y 773,000 km, respectivamente, ¿Cuáles son las distancias máxima(o apogeo) y mínima(o perigeo) entre los centros de la Tierra y la Luna?

10. Calcula las coordenadas de los vértices, focos y extremos del eje conjugado, así como las longitudes del eje transverso y conjugado y de los lados rectos. Determina también la excentricidad y directrices para la hipérbola 7x² – 9y² = 252, elaborando el grafico correspondiente.

11. Calcula la ecuación de la hipérbola cuyos focos son (0, 3) y (0, – 3) y sabiendo que la longitud de su eje conjugado es 5.

12. Un jet de la Fuerza Aérea Mexicana ejecuta una maniobra a alta velocidad, describiendo la trayectoria 2y² – x² = 8. ¿Qué tanto se aproxima el avión a una ciudad situada en (3, 0)?

MÁS EJERCICIOS

* TEORÍA Y PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Y DEL ESPACIO. Joseph H. Kindle. Libros McGraw – Hill, Serie de Compendios Schaum, 1977. Ejercicios de los Capítulos: 4, 5, 6, 7, 9, 10

* FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS, un enfoque para técnicos. Arthur D. Kramer. McGraw – Hill, 1983. Capitulo 12, Ejercicios del 12 – 2 hasta el 12 – 8.

* GEOMETRIA ANALÍTICA. José Manuel Coronel Cuevas. FCE, SEP, D. G. E. T. I., 2009. Unidad II, Actividades de Aprendizaje paginas: 131 – 133, 148, 153, 171 – 172, 198 – 199, 211, 215 – 216, 217 – 219, 220 – 230.

* GEOMETRÍA ANALÍTICA, 13ª Edición. Agustín Anfossi, Marco A. Flores Meyer. Editorial Progreso, 1983. Ejercicios: del 10 al 22, 24, 25.

* GEOMETRÍA ANALÍTICA, 4ª Edición. Ross R. Middlemiss, John L. Marks, James R. Smart, McGraw – Hill, 1983. Capítulos 6 y 7.

* ÁLGEBRA. Charles H. Lehmann, Editorial Limusa, 1981. Grupos 17, 18 y 19.

* MATEMÁTICAS III, COLECCIÓN CIENCIA EDUCATIVA. Pedro Salazar Vásquez, Luis Magaña Cuellar, Compañía Editorial Nueva Imagen, 2000. Unidad III y IV