domingo, 9 de octubre de 2011

Secuencia 4 de Probabilidad y Estadística

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD


APERTURA

Vamos a recordar algunos conceptos que son básicos para esta secuencia.

01. ¿A que se llama modelo?

02. ¿Qué es un suceso?

03. ¿Cómo se representa un suceso, o evento?

04. ¿Cómo se clasifican a los sucesos?

05. ¿Qué es una probabilidad?

06. ¿Por qué es importante el estudio de la Probabilidad?

07. ¿Cuántos tipos de probabilidad conoces?, ¿Cómo se calculan?

08. ¿Es aplicable la Probabilidad a la Estadística?, ¿por qué?

DESARROLLO

Investiga en cualquier libro de probabilidad, o en Internet, los siguientes temas y elabora un resumen, mismo que entregaras individualmente a tu profesor antes del inicio de esta secuencia. No olvides anotar las referencias bibliográficas.

* Concepto de modelo científico.

* ¿Qué es la Teoría de la Probabilidad?

* ¿Cuáles son los Axiomas de la Probabilidad?

* ¿Qué es la regularidad estadística?

* ¿Qué afirma la ley de los grandes números?

* ¿Cuándo dos, o más eventos son independientes?

* ¿Qué condiciones deben de cumplir dos eventos para que sean independientes, de acuerdo a la Probabilidad?

* ¿A que nos referimos cuando hablamos de probabilidad condicional?

* ¿Qué afirma el Teorema de Bayes?

Usa tu resumen para contestar las siguientes cuestiones, correctamente.

01. ¿A que se llama modelo(desde el punto de vista de la Ciencia)?.

02. ¿Cuál es el propósito de la Teoría de Probabilidad?

03. Escribe los axiomas de la Probabilidad.

04. Sea A cualquier suceso, ¿qué valor puede tomar P(A)?.

05. Puede verse que la probabilidad, P, realmente es una función, así que ¿cuál es el dominio de P?, ¿y su rango?.

06. Para un experimento aleatorio dado, ¿a qué se llama espacio de probabilidad?.

07. P (Æ)=…

08. Si A y B son dos sucesos cualesquiera, ¿qué tipos de sucesos son (AÇB) y (AÇB)c de acuerdo a los axiomas de la probabilidad?, ¿(AÇB)È(AÇB)c=?.

09. Considerando la pregunta anterior, P ((AÇB)È(AÇB)c)=…

10. Si A es cualquier suceso, P (Ac)=…

11. Si A y B son cualquier suceso, P(AÈB)=…

12. Si A y B son dos sucesos tales que AÌB, P(B–A)=…

13. ¿Cuándo se dice que dos, o más, sucesos son independientes?

14. Suponga que en una caja hay 6 canicas amarillas, 3 rojas, 5 azules y 2 verdes. Se sacan dos canicas, se ve su color y se les regresa a la caja. Calcula la probabilidad de los siguientes y en base a ello di qué tipo de sucesos son, para lo cual analiza la pregunta: ¿cambiarán las probabilidades si se altera el orden de ocurrencia de los sucesos?.

A “sacar canicas verdes”. B “sacar canicas amarillas”.

C “sacar una canica roja y una verde”.

15. Si en el problema anterior las canicas seleccionadas se mantienen aparte de la caja, y si calculamos las probabilidades respectivas, ¿qué tipo de sucesos serán?.

16. Hay dos maneras(o métodos) clásicas de asignar probabilidades, de las cuales una de ellas ya la has empleado en los problemas anteriores, ¿cómo se llaman?.

17. ¿Bajo qué condiciones se aplican los métodos mencionados en el problema anterior?.

18. ¿Qué es la regularidad estadística?

19. ¿Qué afirma la ley de los grandes números?

20. ¿Quién descubre la ley de los grandes números?

21. ¿Cuándo se utiliza el modelo subjetivo(o personal) de la probabilidad?.

Se tiene una caja con una bola roja, tres verdes y seis amarillas, todas idénticas en medida. Se extraen dos bolas, se mira su color y se les mantiene aparte(a esto se le llama extracción sin reemplazo). Contesta correctamente lo siguiente:

22. ¿Cuál es su espacio muestral?

23. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolas verdes?

24. Al extraer dos bolas, ¿qué sucede con el espacio muestral?

25. Si ahora extraemos dos bolas amarillas, ¿cuál es su probabilidad?

26. Si ahora extraemos dos bolas, de manera que una sea roja y la otra amarilla, ¿ cuál es su probabilidad?.

27. Calcula las probabilidades correspondientes a los Problemas 04 y 05 considerando que, luego de ver el color de las bolas, se regresan a la caja. ¿Cómo es éste valor comparado con el que ya calculaste?.

28. ¿A qué está sujeta la probabilidad de un evento?

29. ¿Cómo se define a la probabilidad condicional?

30. ¿Cómo se calcula la probabilidad condicional?

31. Si A, B y C son tres sucesos cualesquiera, ¿P(AÇBÇC)=…?.

32. Si un suceso A debe de resultar en uno de los sucesos mutuamente excluyentes A1, A2,…, An entonces P(A)=…

33. Escribe la Regla de Bayes.

34. ¿Qué otro nombre recibe la Regla de Bayes?

35. ¿A qué es similar la lógica empleada en la Regla de Bayes?.

36. Si de un grupo de 8 hombres y 4 mujeres se eligen al azar dos personas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean mujeres?.

En el país “De los sueños truncados” se llevaron al cabo elecciones para elegir al Presidente. El 55% de los votantes están registrados como republicanos y el 45% como demócratas; existen dos candidatos para tal puesto: el republicano R y el demócrata D.

En la elección, 80% de los republicanos y el 10% de los demócratas votaron por R mientras que el 20% de los republicanos y el 90% de los demócratas votaron por D. Si se selecciona un votante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado por D?.

Sugerencia. Para resolver éste problema considera los siguientes sucesos y contesta las preguntas puestas a continuación:

A1 “elegir un votante republicano”

A2 “elegir un votante demócrata”

A “elegir un votante que sufragó por D”

37. ¿Qué representa AÇA1?

38. ¿Qué representa AÇA2?

39. ¿Qué tipos de sucesos son AÇA1 y AÇA2?

40. ¿Qué representa (AÇA1)È(AÇA2)?

41. Calcula P(A).

42. Si se selecciona al azar un votante y se encuentra que eligió a D, ¿cuál es la probabilidad de que sea demócrata?. Use la Regla de Bayes.

43. Si A y B son dos sucesos independientes, P(AÇB)=…

En un experimento aleatorio, se formulan los sucesos A y B de tal manera que P(A)=¾, P(B)=¼ y AÇB=Æ. En base a esto responde lo siguiente:

44. ¿Qué tipo de sucesos son A y B?

45. P(AÈB)=….

46. P (Ac)=….

47. P (Bc)=…. 

48. Suponga que en una caja hay 6 canicas amarillas, 3 rojas, 5 azules y 2 verdes. Si se sacan dos canicas, se ve su color y luego se les pone aparte, ¿qué tipo de sucesos serán los siguientes? :

A “sacar canicas verdes”.

B “sacar canicas amarillas”.

C “sacar una canica roja y una verde.

Si no se les mantiene aparte, ¿qué tipo de sucesos serán?.

49. En una caja hay 6 canicas amarillas, 3 rojas, 5 azules y 2 verdes. Si se sacan dos canicas, se ve su color y luego se les pone aparte, calcula la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos :

A “sacar canicas verdes”.

B “sacar canicas amarillas”.

C “sacar una canica roja y una verde.

¿Qué tipo de eventos serán?, ¿Cambiarán éstas probabilidades si se devuelven a la caja las canicas elegidas?

Se lanzan tres monedas al aire y se observa lo que resulta en la cara superior. Encuentra:

50. El espacio muestral.

51. La probabilidad de obtener exactamente dos soles.

52. La probabilidad de obtener al menos dos soles.

53. La probabilidad de obtener al menos un águila.

Se lanzan dos dados cuyas caras tienen la misma posibilidad de caer. Encuentra la probabilidad de que la suma de los lados sea:

54. 7                     55. 12.

56. 11.                  57. menor que 4.

58. primo.             59. divisible entre 3.

60. no sea 12.       61. no sea tres.

Se escogen al azar 2 artículos de un grupo de 12, de los cuales 4 son defectuosos. Encuentra la probabilidad de escoger:

62. dos artículos defectuosos.

63. dos artículos no defectuosos.

64. por lo menos un artículo defectuoso.

Se escogen al azar 3 focos de entre 15, de los cuales 5 están fundidos. Encuentra la probabilidad de que

65. ninguno de los 3 esté fundido.

66. exactamente uno de los tres esté fundido.

67. uno por lo menos éste fundido.

68. Lance una moneda varias veces: 20, 50, 200 y 300. En cada caso registre las veces en que resultó águila o sol y grafique sus resultados. Compárelos con los de sus compañeros, ¿qué se observa?

Al lanzar un dado 1000 veces se obtienen los siguientes resultados:

Número de veces que sale 1: 167   Número de veces que sale 2: 141

Número de veces que sale 3: 190   Número de veces que sale 4: 120

Número de veces que sale 5: 205   Número de veces que sale 6: 177

Encuentra lo siguiente:

69. La probabilidad empírica para cada lado.

70. ¿Existe la posibilidad de que caiga cualquier lado?

71. Si los lados tuvieran la misma posibilidad de salir, ¿cual es su probabilidad?

Una compañía de seguros selecciona al azar 1000 conductores en una ciudad determinada para conocer la relación entre la edad y las infracciones de tránsito, obteniéndose la siguiente tabla:

    EDAD      NÚMERO DE INFRACCIONES EN UN AÑO
                        0     1      2     3   Más de 3
Menos de 20    18    30   45   33     14

 20 - 29           28   54    60   30    18

30 - 39            36   64    40    23    17

40 - 49            57   54    30    21    08

50 - 59            46   48    28    17    11

Más de 59       32   57    52    20     09

Calcule la probabilidad de elegir:

72. un conductor con menos de 20 años y tres infracciones.

73. un conductor entre 40 y 60 años y sin infracciones.

74. un conductor con más de 3 infracciones

75. un conductor entre 20 y 40 años y con menos de 2 infracciones.

76. un conductor con menos de dos infracciones.

Un informe de la Unidad de Traumatología del Hospital Civil proporciona los siguientes datos:

                                                            CAUSAS

TRATAMIENTO  ACC. DE TRAB  ACC. ESCOL  ACC. AUTOM   OTROS

OPERACION            50                     15                   25             10

RAYOS X                 35                      12                  18             18

CURACION              08                      06                  15             02

Si se selecciona un paciente al azar, encuentra la probabilidad de que

77. sea del grupo de operados.

78. sea del grupo de accidentes de trabajo.

79. sea del grupo de accidente automovilístico y solo necesite curación.

80. sea del grupo de accidentes de trabajo o accidente escolar

81. sea del grupo de accidente escolar y necesite rayos X.

Una caja contiene una bola roja, tres verdes y seis amarillas, todas idénticas en medida. Se saca una bola de la caja 400 veces volviéndola a ella una vez visto el color, obteniendo los siguientes resultados:

52 veces sale bola roja

116 veces sale bola verde

232 veces sale bola amarilla

Calcula la probabilidad de que en la siguiente extracción salga:

82. bola roja.

83. bola amarilla.

84. bola verde.

85. Calcula la probabilidad a priori para cada caso.

CIERRE

Del siguiente texto resuelve 4 problemas de cada bloque

* ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA, 3ª Edición. Raymond A. Barnett. McGraw – Hill, 1984. Ejercicios: 11 – 2, 11 – 3, 11 – 4, 11 – 5, 11 – 6. Cuestionario del Capítulo 11.

MÁS EJERCICIOS.

* TEORÍA Y PROBLEMAS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. Murray R. Spiegel. Libros McGraw – Hill, 1975. Problemas suplementarios (páginas 31 – 37)

* ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. Luis Magaña Cuellar. Compañía Editorial Nueva Imagen, 1995. Páginas 176 – 180.

* ESTADÍSTICA MATEMÁTICA CON APLICACIONES. William Mendenhall, Richard L. Scheaffer, Dennis D. Wackerly. Grupo Editorial Iberoamérica, 1986. Páginas: 22 – 23, 30 – 31, 35, 43 – 45, 48 – 50, 52 – 53, 60 – 61, 62 – 63, 65, 68 – 72.

* ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA. William Mendenhall, James E. Reinmuth. Grupo Editorial Iberoamérica, 1981. Páginas 71 – 72, 74, 79 – 80, 83 – 84, 86 – 87, 93 – 94, 97 – 101.

* Statistical Theory, Thrid Edition. Bernard W. Lindgren. Macmillan Publishing Co, 1968. Páginas: 15 – 16, 20 – 22, 30 – 31, 35 – 36, 42 – 43, 48 – 49.

* ESTADÍSTICA, 2ª Edición. Murray R. Spiegel. McGraw – Hill, 1992. Problemas Suplementarios.

* MATEMÁTICA FINITA CON APLICACIONES A LAS CIENCIAS ADMINISTRATIVAS. Louis O. Katt, Albert J. Simone. Editorial Trillas, 1980. Problemas 4.1 – 4.6