INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA.
APERTURA.
Con la finalidad de tener presentes algunos de los conocimientos que ya tienes sobre Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría , vamos a dar un breve repaso, para lo cual contesta correctamente las siguientes cuestiones.
01. ¿Qué tipos de conjuntos numéricos representan las letras N, Z, Q, I, R?
02. Como conjuntos, ¿Cómo son entre sí Q e I?
03. ¿A partir de qué conjuntos, y con cual operación, se obtienen los números reales?
04. Representa en una recta a los conjuntos numéricos N, Z, Q, R e indica qué nombre recibe la recta correspondiente.
05. Escribe la regla de los signos para la suma.
06. Escribe la regla de los signos para la multiplicación.
07. ¿Qué signo resulta al elevar al cuadrado a cualquier cantidad, o número real?
08. Describe el procedimiento para sumar, o restar, dos fracciones.
09. ¿De qué se ocupa la Geometría Euclidiana(o Elemental)?
10. Escribe las distintas maneras de calcular el área de un triangulo cualquiera.
11. ¿Qué tipo de concepto viene siendo la recta?
12. ¿Cuál es una definición de línea recta?
13. ¿Qué es un sistema de referencia?
14. ¿Cuáles son las funciones trigonométricas?
15. ¿Qué tipo de triangulo se usa al definir las funciones trigonométricas anteriores?
16. ¿Qué nombre recibe el lado más largo del triangulo anterior?, ¿y los otros lados?
17. ¿Qué nombre recibe el lado que queda al frente de un ángulo?, ¿y el que queda como un lado?
18. ¿Cómo se definen las funciones trigonométricas?
19. Escribe las identidades fundamentales de las funciones trigonométricas.
Calcula correctamente los siguientes valores y aproxima los resultados a dos decimales. Usa calculadora, leyendo previamente su instructivo para que la uses muy bien.
20. 10sen30° = 21. 8tg60° =
22. 2sec80° = 23. Ctg20° =
DESARROLLO.
Consulta en las siguientes ligas de Internet y/o textos sobre Geometría Analítica sobre los temas siguientes:
* Historia de la Geometría Analítica.
* Concepto y clasificación de la Geometría Analítica.
* Concepto de segmento dirigido. Cálculo de su longitud y magnitud.
* Concepto de sistema coordenado rectangular
* Concepto de sistema coordenado polar
* Cálculo de la distancia entre dos puntos (ambos sistemas)
* Cálculo del área de un triangulo (ambos sistemas).
* Cálculo del área de cualquier figura plana regular (ambos sistemas).
Debes de entregar un resumen de ello a tu profesor, de manera individual, antes de iniciar esta secuencia aportando la referencia bibliográfica usada (texto, autor, editorial, año de edición o ligas de internet). Te indicamos material de referencia para tu investigación.
* http://www.ematematicas.net/ Consultar 1ESO, 2ESO, 3ESO, 4ESO, 1Bachillerato, 2Bachillerato.
* http://www.matem.unam.mx/rgomez/geometria/geometria.html Consultar Capitulo 1 (hasta 1.2.1)
* GEOMETRÍA ANALÍTICA. Ross R. Middlemiss et al. McGraw – Hill. Capitulo 1 (hasta 1.3 y notas históricas).
* CURSO BREVE DE GEOMETRÍA ANALÍTICA. N. Efimov. Editorial Mir. Capítulo 1 (hasta Sección 2).
* GEOMETRÍA ANALÍTICA. Charles H. Lehmann. Editorial Limusa. Capítulo 1 (hasta Articulo 3).
* GEOMETRÍA ANALÍTICA. Agustín Anfossi, Miguel Ángel Flores Meyer. Editorial Progreso. Breve bosquejo histórico de la Geometría Analítica.
* GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. Luís Magaña Cuellar, Pedro Salazar Vázquez. Editorial Nueva Imagen. Unidad I (hasta 1.4)
* EL MÉTODO DE COORDENADAS. L. Gelfand et al. Editorial Mir. Capítulo I, Sección 1.
* MICROSOFT ENCARTA.
* MATEMÁTICAS III: GEOMETRÍA ANALÍTICA. Benjamín Garza Olvera. SEP – SEIT – D. G. E. T. I. Unidad 1, Sección 1.1
* MATEMÁTICAS IV. Víctor Alfonso Sánchez Domínguez. Colección Nuevo Rumbo, Compañía Editorial Nueva imagen, S. A. de C. V.
Ahora contesta en equipo de 4 alumnos las siguientes preguntas. Después vas a formar otro equipo donde explicaras las conclusiones a las que llegaron en el primer equipo.
01. ¿Qué estudia la Geometría Analítica?
02. Elabora una línea del tiempo sobre el desarrollo histórico de la Geometría Analítica
03. Elabora un esquema sobre la clasificación de la Geometría Analítica.
04. ¿A que se llama segmento dirigido?, ¿Cómo se simboliza?
05. Si A(x1) y B(x2) son los extremos del segmento dirigido AB, ¿Cómo calculamos su magnitud y su longitud?
06. ¿Cuándo decimos que un punto divide a un segmento dirigido en una razón r?
07. ¿Cómo se construye el sistema coordenado rectangular?, ¿sobre qué se construye tal sistema?
08. ¿Cómo se llaman cada una de las partes en que queda dividido así el plano?, ¿Qué signos tiene cada pareja en cada una de ellas?
Sobre un sistema coordenado rectangular localiza los siguientes puntos, marcándolos con una letra mayúscula:
09. T (–5 /3, 8) 10. P (9, –3) 11. H (–7/2, –7/5) 12. M (15/2, 9/4)
13. ¿Cómo se construye un sistema coordenado polar?
Sobre un sistema coordenado polar localiza los siguientes puntos, marcándolos con una letra mayúscula:
14. A(5, 30°) 15. B(2, –45°) 16. C(4, q) 17. D(r, 85°)
18. E(3/5, 2p/3) 19. F(9, 3p/2) 20. G(1, 3p)
21. Si tenemos el punto A(x, y), ¿Cuál sería el punto equivalente en el sistema coordenado polar?, ¿bajo qué condiciones puede hacerse esto?
Transforma cada uno de los siguientes puntos al otro sistema coordenado.
23. A(1, 135°) 24. B(– 2, p/3) 25. C(3, 75°) 26. D(– 4, 2p/3)
27. M(5, – 9) 28. N(– 9, 5) 29. O(3/5, 7/4) 30. P(– 12, – 10)
Comprueba tus resultados utilizando una calculadora que tenga estas opciones.
31. Sean los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) del plano. Resume la manera en que se llega a obtener la expresión que permite calcular la distancia entre esos puntos.
32. La casa de María está situada en el punto (– 9, 7), el mercado en el punto (5, – 11) y la casa de su amiga se ubica en el punto (7, 9). Si en un determinado día decide ir a ver a su amiga y luego pasar al mercado y regresar a su casa, ¿Qué distancia llega a recorrer?
33. Si tenemos los puntos A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3), de manera que no estén los 3 sobre una misma recta, ¿Qué figura forman?, ¿Cómo calculamos su área?, ¿Qué concepto se aplica en ese caso?
34. Calcula el área del triangulo formado por los puntos dados en el Problema 32.
35. Sean A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) tres puntos colineales. ¿Qué significa que B divida a AC en la razón r?
36. Sean A(x1, y1), B(x2, y2) los extremos del segmento AB. Si P(x, y) divide a tal segmento en la razón r, ¿Cómo quedan determinados las coordenadas de P?
Los puntos B(– 5, 7) y C(8, – 9) son los extremos de un segmento. Efectúa correctamente lo siguiente
37. Localiza los puntos en un sistema coordenado rectangular y señala los puntos que dividen a tal segmento en 4 partes iguales. Ponle nombre a cada punto.
38. Calcula la razón en que cada uno de esos puntos divide al segmento dado.
39. Calcula las coordenadas de esos puntos.
40. La distancia entre los puntos P(r1, q1) y Q(r2, q2) está dada por la expresión…
41. El área determinada por los puntos A(r1, q1), B(r2, q2) y C(r3, q3) está dada por la expresión…
42. La distancia entre los puntos A(5, 30°) y C(8, 75°) es…
CIERRE.
Resuelve correctamente 2 problemas de cada uno de los siguientes ejercicios, primero de manera individual y luego confronta con tu equipo.
* Matemáticas IV. Víctor Alfonso Sánchez Domínguez. Colección Nuevo Rumbo, Compañía Editorial Nueva Imagen, 1997. Ejercicios: 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
MÁS EJERCICIOS
* Geometría Analítica. Charles H. Lehmann. Editorial Limusa. Grupo 1 (hasta problema 9), Grupo 39
* Geometría Analítica Plana. Luís Magaña Cuéllar, Pedro Salazar Vázquez. Editorial Nueva Imagen. Grupo 1.
* Matemáticas III: Geometría Analítica. Benjamín Garza Olvera. SEP – SEIT – D. G. E. T. I. Ejercicio 1 y actividades complementarias.
* Geometría Analítica. Ross R. Middlemiss, John L. Marks, James R. Smart. McGraw – Hill. Capítulo 1, Sección 1 – 2.
* El Método de Coordenadas. I. Gelfand, E. Glagolieva, A. Kirillov. Editorial Mir. Capitulo 1, numeral 1.
ACTIVIDAD ADICIONAL
Resuelve ahora el siguiente problema.
Marcela desea fabricar un papalote aplicando sus conocimientos de Geometría Analítica. Para ello grafica los puntos A(– 7/2, 3), B(– 5/2, – 5), C(9/2, 1) y D(9, – 11) y te pide que le ayudes con los cálculos (aproxima los resultados a dos decimales)
1. Localiza los puntos en un sistema coordenado rectangular y únelos en el orden señalado. Usa como unidad de medida al centímetro.
2. Los puntos A, C, B y D son los extremos del carrizo, que sostienen al papel de china. ¿Qué tanto carrizo va a necesitar? Para esto calcula, no midas, la longitud de los segmentos referidos en el paso anterior y suma los resultados.
3. ¿Cuál es el perímetro del papalote? Para saber esto calcula(no midas) la longitud de cada lado del papalote y suma los resultados obtenidos.
4. Las coordenadas del punto medio de BC y de AD. A los respectivos puntos medios llámales F y G.
5. ¿Las coordenadas del punto medio calculados coinciden con el punto de intersección de BC y AD?.
6. Calcula la cantidad de hilo necesario para BC, considerando que el hilo debe de pasar a una altura de 16 cms sobre el punto F y agrégale 9 cms más por los amarres y el nudo(donde se va a sujetar al papalote para que vuele).
7. Calcula la cantidad de hilo necesario para AD, considerando que el hilo debe de pasar a una altura de 16 cms sobre el punto F y agrégale 9 cms más por los amarres y el nudo(donde se va a sujetar al papalote para que vuele).
8. ¿Cuánto vale el ángulo de inclinación de BD?
9. ¿Cuánto vale el ángulo de inclinación de AC?
10. ¿Son perpendiculares, en el punto F, BD y AC? Explica.
11. Calcula el ángulo AEC =g.
12. Calcula el ángulo ABD =q.
13. Calcula el área del papalote.
Si cada centímetro de la figura representan 3 cms del papalote real,
14. ¿Cuáles son las dimensiones reales de cada lado?
15. ¿Cuál es el perímetro real?
16. ¿Cuál es el área real?
17. ¿Cuántos papalotes, con las dimensiones reales indicadas en los dos pasos anteriores, saldrán de un pliego de papel de china?
18. ¿Cuánto carrizo realmente se va a necesitar?
19. Verifica tus resultados anteriores usando el Laboratorio de Geometría Analítica del Programa Galileo o el Winplot o cualquier graficador que tengas a la mano..
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